ДВИ МГУ 2013


Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова

дополнительное вступительное испытание по математике

Варианты 2013 года

Задача 1.

а) Старший коэффициент квадратного трехчлена f(x) равен 2. Один из его корней 5/2. Найдите второй корень, если известно, что f(0) = 3.

б) Старший коэффициент квадратного трехчлена f(x) равен 3. Один из его корней 4/3. Найдите второй корень, если известно, что f(0) = –2.

в) Старший коэффициент квадратного трехчлена f(x) равен –2. Один из его корней 3/2. Найдите второй корень, если известно, что f(0) = 1.

г) Старший коэффициент квадратного трехчлена f(x) равен –3. Один из его корней 7/3. Найдите второй корень, если известно, что f(0) = 4.

 

Задача 2.

 

Вычислите:

а) log123∙log912.                    

б) log810∙log104.                    

в) log527∙log95.

г) log166∙log68.

 

Задача 3.

 

Решите неравенство:

Задача 4.

 

Решите уравнение:

 

 

Задача 5.

 

а) В 14:00 из села Верхнее вниз по течению в сторону села Нижнее отправился катер «Быстрый». Когда до Нижнего оставалось плыть 500 м, ему навстречу из Нижнего вышел катер «Смелый». В тот же самый момент «Быстрый», не желая встречи со «Смелым», развернулся и пошел обратно к Верхнему. В 14:14, когда расстояние по реке от «Быстрого» до Верхнего сравнялось с расстоянием по реке от «Смелого» до «Быстрого», на «Смелом» осознали, что они идут с «Быстрым» на одинаковой скорости, развернулись и отправились обратно к Нижнему. В исходные пункты катера вернулись одновременно в 14:18. Найдите расстояние по реке между Верхним и Нижним, если известно, что оба катера движутся равномерно и с одинаковой скоростью.

 

б) От биостанции до границы заповедника вверх по реке ровно 14 км. В 7:00 браконьеры вошли на катере в заповедник и направились в сторону биостанции. Через некоторое время им навстречу с биостанции вышел катер рыбинспекции. Браконьеры тут же развернулись и направились обратно к границе заповедника. В 7:38, когда браконьеры оказались ровно посередине между рыбинспекторами и границей, рыбинспекторы осознали, что идут с браконьерами на одинаковой скорости, развернулись и направились обратно на биостанцию. До биостанции они добрались ровно в тот момент, когда браконьеры выехали за пределы заповедника – в 7:50. Найдите наименьшее расстояние, на котором находились браконьеры и рыбинспекторы, если известно, что оба катера движутся равномерно и с одинаковой скоростью.

 

в) В 15:00 из пункта А, двигаясь против течения реки в сторону пункта Б, вышел катер «Первый», а навстречу ему из пункта Б отправился катер «Второй». В 15:12 путь, пройденный «Вторым», стал равен расстоянию между катерами. В этот момент «Первый» развернулся и пошел обратно к пункту А. «Второй» продолжал двигаться за «Первым» до тех пор, пока «Первый» не прибыл в пунт А. В этот момент расстояние от «Второго» до А равнялось 1,6 км. развернувшись «Второй» сразу же отправился в пункт Б, куда и прибыл в 15:49. Чему равно расстояние по реке между пунктами А и Б?

 

г) От биостанции до границы заповедника вниз по реке ровно 8 км. В 8:00 браконьеры вошли на катере в заповедник и направились в сторону биостанции. В это же время им навстречу с биостанции вышел катер рыбинспекции. Через 6 минут, когда рыбинспекторы были ровно посередине между биостанцией и браконьерами, браконьеры заметили катер рыбинспекции, тут же развернулись и направились обратно к границе заповедника. Когда браконьеры достигли границы, рыбинспекторы с чувством выполненного долга развернулись и отправились обратно на биостанцию, куда прибыли в 08:25. Найдите наименьшее расстояние, на котором находились браконьеры от рыбинспекторов, если известно, что оба катера движутся равномерно и с одинаковой скоростью.

 

 

Задача 6.

 

а) Трапеция АВСD вписана в окружность радиуса R и описана около окружности радиуса r. Найдите r, если R = 12, а косинус угла между диагональю АС и основанием AD равен 3/4.

 

б) Трапеция АВСD вписана в окружность радиуса R и описана около окружности радиуса r. Причем R = 2r. Найдите среднюю линию трапеции, если диагональ ACравна 4.

 

в) Трапеция KLMN вписана в окружность радиуса R и описана около окружности радиуса r. Найдите r, если R = 20, а косинус угла между диагональю KM и основанием KN равен 4/5.

 

г) Трапеция KLMN вписана в окружность радиуса R и описана около окружности радиуса r. Причем R = 1,5r. Найдите среднюю линию трапеции, если диагональ KMравна 3.

 

Задача 7.

 

а) В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник АВС, такой, что АС = ВС = 1. На ребре А1В1 верхнего основания (параллельном АВ) отмечена точка D, так что А1D:DB1 = 1:2. Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр АВС1D, если высота призмы равна 1.

 

б) В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник АВС, такой, что АС = ВС = 1. На ребре А1С1 верхнего основания (параллельном АС) отмечена точка D, так что А1D:DС1 = 2:1. Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр АВ1СD, если высота призмы равна 1.

 

в) В основании прямой призмы KLMK1L1M1 лежит прямоугольный треугольник KLM, такой, что KM = LM = 1. На ребре K1L1 верхнего основания (параллельном KL) отмечена точка N, так что K1N:NL1 = 1:3. Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр KLM1N, если высота призмы равна 1.

 

в) В основании прямой призмы KLMK1L1M1 лежит прямоугольный треугольник KLM, такой, что KM = LM = 1. На ребре K1M1 верхнего основания (параллельном KM) отмечена точка N, так что K1N:NM1 = 3:1. Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр KL1MN, если высота призмы равна 1.

 

Задача 8.

 

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет бесконечно много решений.

 

а) sin (x + a/x) = x + 1

б) sin (xa ln|x|) = x + 1

в) cos (xa/x) = x – 1

г) cos (x + a ln|x|) = x – 1

 

Ответы.

 

Руслан Александрович - репетитор по математике

тел. моб. (495) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.

 тел. дом. 8 (499) 723 68 84. Звонить можно до 23:00.

 тел. моб. 8 (925) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.

E-mail: mosrepetitor@mail.ru