ДВИ МГУ 2015


Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова

дополнительное вступительное испытание по математике

Варианты 2015 года

Задача 1.

а) Найдите f(2), если 

б) Найдите f(3), если 

в) Найдите f(5), если 

г) Найдите f(3), если 

 

Задача 2.

а) Найдите сумму квадратов корней уравнения: х2 – 7х + 5 = 0.

б) Найдите сумму квадратов корней уравнения: х2 + 9х – 2 = 0.

в) Найдите сумму квадратов корней уравнения: х2 – 8х – 3 = 0.

г) Найдите сумму квадратов корней уравнения: х2 + 10х + 4 = 0.

 

Задача 3.

Решите неравенство:

Задача 4.

Решите уравнение:

 

Задача 5.

а) Окружность радиуса 3/2 касается середины стороны ВС треугольника АВС и пересекает сторону АВ в точках Dи Е так, что АD : DE : EB = 1 : 2 : 1. Чему может равняться АС, если угол ВАС равен 30°?

б) Окружность радиуса 2 касается середины стороны АС треугольника АВС и пересекает сторону ВС в точках Kи L так, что BK = KL = LC. Чему может равняться АB, если угол АВС равен 45°?

в) Окружность касается середины стороны ВС треугольника АВС и пересекает сторону АВ в точках Dи Е так, что АD : DE : EB = 1 : 2 : 1. Чему может равняться радиус окружности, если угол ВАС равен 30° и АС = 2/3?

г) Окружность касается середины стороны АС треугольника АВС и пересекает сторону ВС в точках Kи L так, что BK = KL = LC. Чему может равняться радиус окружности, если угол АВС равен 45° и АВ = 1?

 

Задача 6

а) Велосипедист Василий выехал из пункта А в пункт Б. Проехав треть пути, Василий наткнулся на выбоину, вследствие чего велосипед безнадежно вышел из строя. Не теряя времени, Василий бросил сломавшийся велосипед и пошел пешком обратно в пункт А за новым велосипедом. В момент поломки из пункта А выехал мотоциклист Григорий. На каком расстоянии от пункта А он встретит Василия, если пункт Б отстоит от пункта А на 4 км, а Василий доберется до пункта А тогда же, когда Григорий до пункта Б? Скорости велосипеда, мотоцикла и пешехода считать постоянными.

б) Лыжник Григорий ехал по довольно пологому склону, но, проехав две трети пути, проявил неуклюжесть и сломал лыжи. Отбросив их за ненадобностью, он тут же побрел обратно. В момент поломки с вершины горы стартовал лыжник Василий и, проехав 800 метров, встретил Григория. Найдите длину трассы, если известно, что Василий закончил спуск ровно тогда, когда Григорий добрался до вершины горы. Скорости лыжников и пешехода считать постоянными.

в) Велосипедист Василий выехал из пункта А в пункт Б. Проехав четверть пути, Василий наткнулся на выбоину, вследствие чего велосипед безнадежно вышел из строя. Не теряя времени, Василий бросил сломавшийся велосипед и пошел пешком обратно в пункт А за новым велосипедом. В момент поломки из пункта А выехал мотоциклист Григорий и, проехав 4 км, встретил Василия. Найдите расстояние между пунктами А и Б, если известно, что Василий добрался до пункта А тогда же, когда Григорий до пункта Б? Скорости велосипеда, мотоцикла и пешехода считать постоянными.

г) Лыжник Григорий ехал по довольно пологому склону, но, проехав три четверти пути, проявил неуклюжесть и сломал лыжи. Отбросив их за ненадобностью, он тут же побрел обратно. В момент поломки с вершины горы стартовал лыжник Василий. На каком расстоянии от вершины он встретит Григория, если длина всей трассы равна 2100 метров, а Василий закончит спуск ровно тогда, когда Григорий доберется до вершины горы. Скорости лыжников и пешехода считать постоянными.

 

Задача 7.

 

а) В правильную треугольную призму с основаниями АВС и А1В1С1 и ребрами АА1, ВВ1, СС1 вписана сфера. Найдите ее радиус, если известно, что расстояние между прямыми АЕ и ВD равно , где Е и D – точки, лежащие на А1В1 и В1С1 соответственно и  А1Е : ЕВ1 = В1D : DC1 = 1 : 2.

 

б) В правильную треугольную призму с основаниями АВС и А1В1С1 и ребрами АА1, ВВ1, СС1 вписана сфера радиуса . Найдите расстояние между прямыми А1K и В1L, где K и L – точки, лежащие на АВ и ВС соответственно и АK : KВ = ВL : LC = 2 : 3.

 

в) В правильную треугольную призму с основаниями АВС и А1В1С1 и ребрами АА1, ВВ1, СС1 вписана сфера радиуса . Найдите расстояние между прямыми АЕ и ВD, где E и D – точки, лежащие на А1В1 и В1С1 соответственно и А1E : EВ1 = В1D : DC1 = 1 : 2.

 

г) В правильную треугольную призму с основаниями АВС и А1В1С1 и ребрами АА1, ВВ1, СС1 вписана сфера. Найдите ее радиус, если известно, что расстояние между прямыми А1K и В1L равно , где K и L – точки, лежащие на АВ и ВС соответственно и АK : KВ = ВL : LC = 2 : 3.

 

Задача 8.

 

а) Найдите все пары (α, β), при которых достигается минимум выражения:

 

б) Найдите все пары (x, y), при которых достигается минимум выражения:

 

в) Найдите все пары (α, β), при которых достигается минимум выражения:

 

г) Найдите все пары (x, y), при которых достигается минимум выражения:

 

Ответы

 

Руслан Александрович - репетитор по математике

тел. моб. (495) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.

 тел. дом. 8 (499) 723 68 84. Звонить можно до 23:00.

 тел. моб. 8 (925) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.

E-mail: mosrepetitor@mail.ru