ДВИ МГУ 2014


Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова

дополнительное вступительное испытание по математике

Варианты 2014 года

Задача 1.

Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением:

Задача 2.

Найдите максимальное значение функции:

а) log1/2(x2 – 6x + 17)

б) log1/3(x2 + 4x + 31)

а) log1/2(x2 – 8x + 20)

а) log1/3(x2 + 10x + 34)

Задача 3.

Найдите все положительные х, удовлетворяющие неравенству:

а) х 3х+7 > х12.

б) х –5х–7 < х–7.

в) х 4х–5 > х –2.

г) х –7х+5 < х –4.

Задача 4.

Решите уравнение:

Задача 5.

a) Окружности W1 и W2 с центрами в точках О1 и О2 касаются внешним образом в точке А. Общая внешняя касательная к этим окружностям касается W1 и W2 соответственно в точках В1 и В2. Общая касательная к окружностям, проходящая через точку А, пересекает отрезок В1В2 в точке С. Прямая, делящая угол АСО2 пополам, пересекает прямые О1В1, О1О2, О2В2 в точках D1, L, D2 соответственно. Найдите отношение LD2 : O2D2, если известно, что CD1 = CO1.

б) Окружности W1 и W2 с центрами в точках О1 и О2 касаются внешним образом в точке А. Общая внешняя касательная к этим окружностям касается W1 в точке В и пересекает в точке С общую касательную этих окружностей, проходящую через точку А. Прямая, делящая угол АСО1 пополам, пересекает прямые О1О2, ВО1 в точках L и D соответственно. Найдите СО2, если известно, что LO1 = 2, а прямые СО2 и DO2 перпендикулярны.

в) Окружности W1 и W2 с центрами в точках О1 и О2 касаются внешним образом в точке А. Общая внешняя касательная к этим окружностям касается W1 и W2 соответственно в точках В1 и В2. Общая касательная к окружностям, проходящая через точку А, пересекает отрезок В1В2 в точке С. Прямая, делящая угол АСО2 пополам, пересекает прямые О1В1, О1О2, О2В2 в точках D1, L, D2 соответственно. Найдите отношение СD1 : СO1, если известно, что LD2 = O2D2.

г) Окружности W1 и W2 с центрами в точках О1 и О2 касаются внешним образом в точке А. Общая внешняя касательная к этим окружностям касается W1 в точке В и пересекает в точке С общую касательную этих окружностей, проходящую через точку А. Прямая, делящая угол АСО1 пополам, пересекает прямые О1О2, ВО1 в точках L и D соответственно. Найдите LО1, если известно, что CO2 = 2, а прямые СО2 и DO2 перпендикулярны.

Задача 6.

Найдите все положительные х, у, удовлетворяющие системе уравнений:

Найдите  все х, у на интервале (0, π/2), удовлетворяющие системе уравнений:

Задача 7.

а) В основании прямой призмы лежит правильный треугольник со стороной 1. Высота призмы равна  . Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями боковых граней.

б) В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 1. Высота призмы равна  . Найдите расстояние между большой диагональю призмы и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани.

в) В основании прямой призмы лежит правильный треугольник со стороной 2. Высота призмы равна  . Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями боковых граней.

г) В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 1. Высота призмы равна  . Найдите расстояние между большой диагональю призмы и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани.

Задача 8.

Найдите все значения, которые может принимать хотя бы одна из функций:

 

Ответы.

 

            Как видите, задачи, безусловно, решаемые, но требующие очень серьезной математической подготовки и изрядного опыта в решении задач высокого уровня сложности.

            Конечно, "с нуля" подготовиться к такому экзамену за полтора месяца невозможно. Однако для абитуриента, обладающего достаточным базовым уровнем знаний по математике (а кто еще будет поступать на такие серьезные факультеты?), целенаправленная подготовка к дополнительному вступительному испытанию может быть очень и очень полезна. Логика такого экзамена очень сильно отличается от ЕГЭ, и готовить к нему надо по совершенно другой методике. Задачи требуют более объемных преобразований и предполагают больше логических разветвлений в ходе решения.

Попробуем разобрать некоторые задачи:

Задача № 1.

Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением:

Решение.

Задача 2.

Найдите максимальное значение функции: 

Решение:

Задача 3.

Найти все положительные х, удовлетворяющие неравенству:

Решение.

Задача 4.

Решите уравнение:

Решение.

Задача 5.

Окружности Ω1, Ω2 с центрами О1 и О2 касаются внешним образом в точке А. Общая внешняя касательная к этим окружностям касается Ω1, Ω2 соответственно в точках В1 и В2. Общая касательная к окружностям, проходящая через точку А, пересекает отрезок В1В2 в точке С. Прямая, делящая угол АСО2 пополам, пересекает прямые О1В1., О1О2, О2В2 в точках D1, L, D2 соответственно. Найдите отношение LD2 : O2D2, если известно, что CD1 = CO1.

Решение.

Задача 6.

Найдите все положительные ху, удовлетворяющие системе уравнений:

Решение.

 

Руслан Александрович - репетитор по математике

тел. моб. (495) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.

 тел. дом. 8 (499) 723 68 84. Звонить можно до 23:00.

 тел. моб. 8 (925) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.

E-mail: mosrepetitor@mail.ru