Задача 6.

Найдите все положительные х, у, удовлетворяющие системе уравнений:

Решение:

Сделаем замену переменных, которая спрячет иррациональности, и мы получим систему с целыми степенями. Обратим внимание, что х, у – положительные, это значит, что и новые переменные должны быть больше нуля, что позволит ограничиться отысканием только положительных их значений. Ниже мы увидим, насколько это ограничение упрости нашу задачу:

В первом уравнении системы применим формулу суммы кубов, а во втором выделим полный квадрат. Это приведет к тому, что наша новая система будет содержать tи c только в виде t+c и  t·c. Это позволит ввести новые переменные:

Опять обратим внимание, что aи b, как сумма и произведение положительных tи c также должны быть больше нуля. Система примет вид:

Выразим из второго уравнения а и подставим в первое

Получилось кубическое уравнение, решить которое можно следующим образом. Подбором находим первый корень b = 4 и по схеме Горнера или делением многочленов уголком получаем второй множитель:

Решив второе уравнение через дискриминант, получим три действительных корня:

Обратим внимание, что b₃ < 0, что противоречит условию. Его сразу отбрасываем. Решая данное задание на экзамене, полезно будет пояснить, почему данный корень является посторонним. Для b₁ и  b₂ найдем соответствующие значения а.

Следовательно пара а₂ и  b₂ тоже не удовлетворяет условию. У нас осталась единственная пара. Вернемся к переменным t и c.

Теперь можно вернуться к переменным х и у.

Ответ: (4; 8)