ДВИ МГУ Задача 05


Задача 5.

Окружности Ω1, Ω2 с центрами О1 и О2 касаются внешним образом в точке А. Общая внешняя касательная к этим окружностям касается Ω1, Ω2 соответственно в точках В1 и В2. Общая касательная к окружностям, проходящая через точку А, пересекает отрезок В1В2 в точке С. Прямая, делящая угол АСО2 пополам, пересекает прямые О1В1., О1О2, О2В2 в точках D1, L, D2 соответственно. Найдите отношение LD2 : O2D2, если известно, что CD1 = CO1.

Решение:

            Сначала попробуем внимательно прочитать условие задачи и изобразим на чертеже все перечисленные факты. Опыт репетитора показывает, что огромную трудность для ученика представляет просто внимательно прочитать и правильно понять текст задачи. Мне кажется, что с течением времени это становится все бОльшей проблемой для все бОльшего числа школьников. «Если все компоненты собраны правильно», у нас получится следующий чертеж:

1) Так как по условию CD1 = CO1, то ΔDCO1 – равнобедренный, то угол CD1B1 равен углу CO1B1. Пусть градусная мера этих углов будет х.

2) ΔO1B1C = ΔO1AC (по катету и гипотенузе O1A = O1B1, как радиусы). Следовательно, угол CO1A  равен углу CO1B1 и тоже равен х.

3) Аналогично, ΔO2B2C = ΔO2AC (по катету и гипотенузе O2A = O2B2, как радиусы) → угол CO2A  равен углу CO2B2.

4) O1B1, O2B2 как радиусы перпендикулярны общей касательной к окружностям В1B2, следовательно, O1B1 || O2B2. Угол О2D2Lравен углу CD1B1 и равен х, как внутренние накрест лежащие.  Угол D2О2А равен углу D1О1А и равен 2х, как внутренние накрест лежащие.

5) Углы В1О1А и В2О2А внутренние односторонние и их сумма равна 180 градусов. Следовательно, сумма их половинок угол СО1А + угол СО2А (см. (2) и (3)) равна 90°, то есть угол О1СО2 равен 90° и ΔO12 – прямоугольный.

6) Так как угол CO1О2  = х, то угол CО2O1  = 90 – х. А из прямоугольного треугольника САО2 угол О2СА равен х.

7) Так как СL биссектриса по условию, то угол АСL = углу О2СL и равен х/2.

8) Тогда из прямоугольного треугольника АСL угол АLС равен 90 – х/2.

9) Углы О2LD2 и АLС равны как вертикальные.

10) Рассмотрим треугольник LD2O2:

Угол О2D2Lравен х. (4)

Угол D2О2Lравен 2х (4)

Угол О2LD2 равен 90 – х/2. (8)

По теореме о сумме углов треугольника имеем:

х + 2х + 90 – х/2 = 180°

х = 36°

11) Угол D2О2L= 2х = 2·36 = 72°

Угол О2LD2 равен 90 – х/2 = 90 – 36/2 = 72°

Следовательно, Угол D2О2L равен углу О2LD2. и треугольник D2О2L равнобедренный.

12) LD2 = O2D2, следовательно LD2 : O2D2 = 1 : 1.

Ответ: LD2 : O2D2 = 1 : 1.

 
 
Руслан Александрович - репетитор по математике

тел. моб. 8 (495) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.

 тел. дом. 8 (499) 723 68 84. Звонить можно до 23:00.

 тел. моб. 8 (925) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.

E-mail: mosrepetitor@mail.ru