ДВИ МГУ Задача 04


Задача 4.

Решите уравнение:

Решение:

            Это уже интересное уравнение, для решения которого потребуется не только хорошее знание тригонометрии. В лоб это уравнение не решается. Нам придется рассуждать, основываясь на свойствах представленных функций, рассматривать различные альтернативы. Алгоритм решения будет ветвиться.

            Итак, приступим. Модуль синуса, который так пугает многих – это далеко не самое ужасное. С ним мы легко справимся. Очевидно, что перед нами квадратное уравнение относительно модуля синуса. Однако х входит и в чрезвычайно «кривой» косинус. Чтобы легче проанализировать уравнение в целом, спрячем всю тригонометрию в замены:

Наше уравнение примет вполне благопристойный вид: 

Это квадратное уравнение относительно tс одной маленькой особенностью b– переменный коэффициент. Решим это уравнение через дискриминант, как будто b– обычное число:

Для того, чтобы исходное уравнение имело корни, необходимо, чтобы дискриминант был больше или равен нуля. Это возможно только, если

Выполнение этих двух условий одновременно возможно только если

Продолжим решение уравнения (4) относительно t:

Что невозможно, в силу (2)

На этом этапе можно вернуться к старым переменным. Согласно (2) и (3) получаем:

На данном этапе в результате наших усилий мы вместо сложного уравнения (1) получили гораздо более простую равносильную ему систему. Решим по отдельности каждое из уравнений:

Решением данной системы будут равные значения x, получающиеся в обоих уравнениях. Очевидно, что далеко не при любых целочисленных значениях k1 и k2 они будут такими получаться. Мы должны выбрать такой набор целых значений k1 и k2, чтобы значения х получались равными в обоих уравнениях системы. Попробуем ответить на вопрос: «Существуют ли такие k1 и k2? И, если да, то «Какова связь между ними?». Для этого приравняем значения х.

Четверка на 5 не делится. Это значит, что для того чтобы k2 получалось целым надо чтобы (1 + 2k1) было кратно 5. То есть

При этом значение k1 будет целым, только если 5m – 1 будет четным:  То есть  m будет нечетным:  m= 2n+1.

Подставим k1 в (13) и найдем х:

Ответ:

Руслан Александрович - репетитор по математике

тел. моб. (495) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.

тел. дом. 8 (499) 723 68 84. Звонить можно до 23:00.

тел. моб. 8 (925) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.

E-mail: mosrepetitor@mail.ru