ДВИ МГУ Задача 02


Задача 2.

Найдите максимальное значение функции: 

Решение:

            Поскольку функция содержит логарифм, то особое внимание следует обратить на нахождение ее области определения. Репетиторы часто сталкиваются с желанием учеников пропустить этот важный этап и сразу перейти к каким-либо преобразованиям или исследованиям самой функции. положа руку на сердце, задумываться об области определения полезно в любом случае. В каком-то из технических вузов на вступительных экзаменах хорошим тоном было требовать нахождение области допустимых значений для любых уравнений, неравенств и выражений, даже если этой областью со всей очевидностью была вся числовая прямая.

            Введем имя нашей функции:

И найдем ее область определения, опираясь на свойства логарифма:

Следовательно, корней нет, и областью определения будет вся числовая прямая.

            Для нахождения максимального значения можно пойти стандартным путем, взяв производную и исследовав функцию на возрастание и убывания. Однако предлагаю вам воспользоваться свойством логарифмической и квадратичной функций.

Это логарифмическая функция с основанием 1/2 < 1. Она монотонно убывает на всей области определения:

Следовательно, своего максимального значения она достигает там, где ее аргумент достигает минимального значения.

Это квадратичная функция, ветви ее направлены вверх и своего наименьшего значения она достигает в вершине параболы:

Найдем координаты вершины параболы:

Таким образом, аргумент исходной функции:

достигает наименьшего значения в точке х = 3. Следовательно, сама исходная функция достигает в этой точке своего максимального значения. Осталось только найти это значение:

Это и есть ответ:

Если мы не поленимся и построим график нашей функции, то увидим наглядное подтверждение нашей правоты. 

Однако на экзамене этого делать не стоит, ибо задания такого не было.

 

Руслан Александрович - репетитор по математике

тел. моб. (495) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.

 тел. дом. 8 (499) 723 68 84. Звонить можно до 23:00.

 тел. моб. 8 (925) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.

E-mail: mosrepetitor@mail.ru