ДВИ МГУ Задача 02
Задача 2.
Найдите максимальное значение функции:
Решение:
Поскольку функция содержит логарифм, то особое внимание следует обратить на нахождение ее области определения. Репетиторы часто сталкиваются с желанием учеников пропустить этот важный этап и сразу перейти к каким-либо преобразованиям или исследованиям самой функции. положа руку на сердце, задумываться об области определения полезно в любом случае. В каком-то из технических вузов на вступительных экзаменах хорошим тоном было требовать нахождение области допустимых значений для любых уравнений, неравенств и выражений, даже если этой областью со всей очевидностью была вся числовая прямая.
Введем имя нашей функции:
И найдем ее область определения, опираясь на свойства логарифма:
Следовательно, корней нет, и областью определения будет вся числовая прямая.
Для нахождения максимального значения можно пойти стандартным путем, взяв производную и исследовав функцию на возрастание и убывания. Однако предлагаю вам воспользоваться свойством логарифмической и квадратичной функций.
Это логарифмическая функция с основанием 1/2 < 1. Она монотонно убывает на всей области определения:
Следовательно, своего максимального значения она достигает там, где ее аргумент достигает минимального значения.
Это квадратичная функция, ветви ее направлены вверх и своего наименьшего значения она достигает в вершине параболы:
Найдем координаты вершины параболы:
Таким образом, аргумент исходной функции:
достигает наименьшего значения в точке х = 3. Следовательно, сама исходная функция достигает в этой точке своего максимального значения. Осталось только найти это значение:
Это и есть ответ:
Если мы не поленимся и построим график нашей функции, то увидим наглядное подтверждение нашей правоты.
Однако на экзамене этого делать не стоит, ибо задания такого не было.
Руслан Александрович - репетитор по математике
тел. моб. (495) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.
тел. дом. 8 (499) 723 68 84. Звонить можно до 23:00.
тел. моб. 8 (925) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.
E-mail: mosrepetitor@mail.ru