ДВИ МГУ 2017


Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова

дополнительное вступительное испытание по математике

Варианты 2017 года

Задача 1.

Какое число больше:


Задача 2.

 

а) Известно, что a+ b+ c= 5 и ab+ bc+ ac= 4. Найдите  a2 + b2 + c2.

б) Известно, что a + b + c = 6 и a2 + b2 + c2 = 16. Найдите  ab + bc + ac.

в) Известно, что a+ b+ c= 4 и ab+ bc+ ac= 5. Найдите  a2 + b2 + c2.

г) Известно, что a + b + c = 7 и a2 + b2 + c2 = 19. Найдите  ab + bc + ac.

 

Задача 3.

Решите уравнение:

а) sin 7x + sin 6x = sin x.

б) cos 6x + cos 5x = sin x.

в) sin 8x – sin 7x = sin x.

г) cos 8x – cos 9x = sin x.

 

Задача 4.

Решите неравенство:

Задача 5.

а) Через вершины А и В треугольника ABC проведена окружность, касающаяся прямых АС и ВС. На этой окружности выбрана гонка D (внутри треугольника), лежащая на расстоянии  от прямой АВ и на расстоянии  от прямой ВС. Найдите угол DBC, если известно, что угол ABD = углу BCD.

б) Через вершины К и L треугольника KLM проведена окружность, касающаяся прямых КМ и LM. На этой окружности выбрана точка S (внутри треугольника), лежащая на расстоянии 1 от прямой KL. Найдите расстояние от точки S до прямой LМ, если известно, что угол KLS =  углу LMS и что угол SLM = 45°.

 

в) Через вершины А и С треугольника ABC проведена окружность, касающаяся прямых АВ и ВС. На этой окружности выбрана точка D (внутри треугольника), лежащая на расстоянии 1 oт прямой АС и на расстоянии  от прямой АВ. Найдите угол DAB, если известно, что угол CAD = углу ABD.

 

г) Через вершины М и К треугольника KLM проведена окружность, касающаяся прямых ML и КL. На этой окружности выбрана точка S (внутри треугольника), лежащая на расстоянии  от прямой МК. Найдите расстояние от точки S до прямой KL, если известно, что угол MKS = углу КLS и что угол SKL = 60°.

 

Задача 6.

 

а) Василий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта А нужно добраться вниз по реке до пункта В, причем в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Василий вызвался самостоятельно доехать до пункта В на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта А. Однако, промчавшись восемь километров, Василий заметил на берегу машущего ему рукой Григория, который просил по старой дружбе довезти его до пункта С. И хоть пункт С Василий уже проехал, он согласился. По пути в пункт С Василий с Григорием встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Василия, откуда те крикнули, что им до пункта В осталась треть пути и чтобы Василий нигде не задерживался. Доставив Григория в пункт С, Василий немедленно помчался догонять друзей. Найдите расстояние между пунктами В и С, если известно, что оба катера пришли в пункт В одновременно, скорости катеров постоянны, а Василий, действительно, нигде не задерживался.

 

б) Анатолий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта А нужно добраться вверх по реке до пункта В, причем, в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Анатолий вызвался самостоятельно доехать до пункта В на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта А. Однако, промчавшись 8 км, Анатолий заметил на берегу машущего ему рукой Бориса, который просил по старой дружбе довезти его до пункта С. И хоть пункт С Анатолий уже проехал, он согласился. По пути в пункт С Анатолий с Борисом встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Анатолия, откуда те крикнули, что пункт В уже совсем близко и чтобы Анатолий нигде не задерживался. Доставив Бориса в пункт С, Анатолий немедленно помчался догонять друзей. Определите, какую долю пути оставалось пройти друзьям Анатолия от момента встречи с ним и Борисом, если известно, что оба катера пришли в пункт В одновременно, расстояние между пунктами В и С равно 2 км, скорости катеров постоянны, а Анатолий, действительно, нигде не задерживался.

 

в) Григорий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта А нужно добраться вниз по реке до пункта В, причем в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым от­ветственным, Григорий вызвался самостоятельно доехать до пункта В на более быстроходном катере и начать готовить место д/ш пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта А. Однако, промчавшись шесть километров, Григорий заметил на берегу машущего ему рукой Василия, который просил но старой дружбе довезти его до пункта С. И хоть пункт С Григо­рий уже проехал, он согласился. По пути в пункт С Григорий с Василием встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Григория, откуда те крикнули, что им до пункта В оста­лась четверть пути и чтобы Григорий нигде не задерживался. Доставив Василия в пункт С, Григорий немедленно помчался догонять друзей. Найдите расстояние между пунктами В и С, если известно, что оба катера пришли в пункт В одновременно, скорости катеров постоянны, а Григорий, действительно, нигде не задерживался.

 

г) Борис с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта А нужно добраться вверх по реке до пункта В, причем, в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Борис вызвался самостоятельно доехать до пункта В на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта А. Одна­ко, промчавшись 10 км, Борис замелил на берегу машущего ему рукой Анатолия, который просил по старой дружбе довезти его до пункта С. И хоть пункт С Борис уже проехал, он согласился. По пути в пункт С Борис с Анатолием встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Бориса, откуда те крикнули, что пункт В уже совсем близко и чтобы Борис нигде не задерживался. Доставив Анатолия в пункт С, Борис немедленно помчался догонять друзей. Определите, какую долю пути оставалось пройти друзьям Бориса от момента встречи с ним и Анатолием, если известно, что оба катера пришли в пункт В одновременно, расстояние между пунктами В и С равно 2 км, скорости катеров постоянны, а Борис, действительно, нигде не задерживался.

 

Задача 7.

 

а) Из вершины D на плоскость основания ABC пирамиды ABCD опущена высота DH. Найдите объем этой пирамиды, если известно, что площади треугольников НВС, НАС, НАВ равны соответственно 2/9 , 1/3 , 4/9 , и что все три плоских угла при вершине D прямые.

 

б) Из вершины S на плоскость основания KLM пирамиды КLMS опущена высота SH. Найдите объем этой пирамиды, если известно, что площади треугольников HLM, НKM, HKL равны соответственно 2/10, 3/10 , 1/2 , и что все три плоских угла при вершине S прямые.

 

в) Из вершины D на плоскость основания ABC пирамиды AВCD опущена высота DH. Найдите объем этой пирамиды, если известно, что площади треугольников НВС, НАС, НАВ равны соответственно 2/11, 4/11,  5/11,  и что все три плоских угла при вершине D прямые.

 

г) Из вершины S на плоскость основания KLM пирамиды KLMS опущена высота SH. Найдите объем этой пирамиды, если известно, что площади треугольников HLM, НКМ, HKL равны соответственно 1/4 , 1/3 , 5/12 , и что все три плоских угла при вершине S прямые.

 

Задача 8.

Решите систему уравнений:

 

Ответы

 

Руслан Александрович - репетитор по математике

тел. моб. (495) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.

 тел. дом. 8 (499) 723 68 84. Звонить можно до 23:00.

 тел. моб. 8 (925) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.

E-mail: mosrepetitor@mail.ru