179 школа. Вариант устного собеседования 24 03 2016

1. В пустой аквариум налили воды и положили одинаковые стеклянные шарики. Если вынуть половину всех шариков, то уровень воды в аквариуме понизится на одну четверть. На какую часть (от нового уровня) понизится уровень воды, если вынуть половину оставшихся шариков?

2. 179 шариков выложены в ряд, каждый покрашен в какой-то цвет. Оказалось, что среди любых девяти шариков, идущих подряд, хотя бы четыре – красные, а среди любых двадцати семи шариков, идущих подряд, хотя бы пятнадцать – синие. Какое наибольшее число шариков из этих 179 могут оказаться жёлтыми?

3. Как известно, рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. 2016 человек, часть из которых рыцари, а остальные лжецы, сидят за круглым столом, причём у каждого лжеца ровно один из двух ближайших соседей лжец. На вопрос «Сколько среди ваших двух ближайших соседей лжецов?» 990 человек ответили «1», а остальные «2». Сколько лжецов сидит за столом? (Найти все варианты и докажите, что других нет.)

4. Из равных равнобедренных треугольников с углом 45 градусов при вершине и боковой стороной 1 сложили «арку» (см. рисунок).

Найдите расстояние между точками А и В.

5. Имеется квадратная таблица размера 12x12, разбитая на 144 клеточки размера 1x1. Можно ли расставить в 72 клеточках крестики и в 72 клеточках нолики, так, чтобы в любой строке и в любом столбце было не менее 75% одинаковых знаков?

6. В строку в произвольном порядке выписаны все правильные положительные несократимые дроби со знаменателями от 2 до 179 включительно. Двое игроков по очереди ставят перед любой свободной дробью знак «+» или «-» до тех пор, пока знаки не будут поставлены перед всеми дробями. Если после последнего хода получилось целое число, то сделавший этот ход выигрывает, а если нецелое, то выигрывает его противник. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш и как для этого он должен играть?

7. Число (п+1)(п+2) ... 2п разложили на простые сомножители. Найдите число двоек в этом разложении.

Руслан Александрович - репетитор по математике