ЗИМНИЙ КОНКУРС        Математический кружок, 179 школа    26.12.2016

Задача 1. Все углы пятиугольника равны. Обязательно ли тогда и все его стороны равны?

Задача 2. Однажды в некотором месяце некоторого года 1-й вторник Юра провёл в Туле, а 1-й вторник после 1-го понедельника – в Риге. В следующем месяце Юра 1-й вторник провёл в Киеве, а 1-й вторник после 1-го понедельника в Твери. Какого числа и какого месяца Юра был в каждом из этих городов?

Задача 3. Два равносторонних треугольника — периметра 12 и периметра 15 пересекаются по шестиугольнику, противоположные стороны которого параллельны (см. рисунок). Найдите периметр этого шестиугольника.

Задача 4. Найдите последние 4 цифры числа 5¹⁰⁰⁰.

Задача 5. а) Выберите в любой книге отрывок, содержащий 1000 букв. Подсчитайте, сколько раз каждая буква встречается в этом отрывке, и расположите буквы в порядке убывания их частот.

б) Расшифруйте. «Сегрдюхбиоч коли п йпсоцьэч доцоьяоч ыкеу гюрюмя, ъобюоч кют ъо йпсоцье псдюхякипи я п епкюбньэчя гюрюмючя. Юхкедэ.» Известно, что текст зашифровали так. Буквы а, е, и, й, о, у, ы, э, ю, я как-то разбили па пары, буквы б, в, г, д, ж, з, к, л, м, н, п, р, с, т, ф, х, ц, ч, ш, щ, ъ, ь тоже как-то разбили на пары. Затем каждую букву в тексте заменили на другую букву из её пары.

Задача 6. Учитель задал на дом 20 задач. На следующем уроке выяснилось, что каждый ученик решил ровно 2 задачи, а каждую задачу решили ровно 2 ученика, а) Сколько было учеников? б) Можно ли организовать разбор всех задач так, что каждый ученик расскажет по одной решённой им задаче?

Задача 7. В ящике лежат 4 шара, каждый из которых белый или чёрный. Надо угадать, сколько каких шаров в ящике. За одну попытку разрешается, не заглядывая в ящик, наугад вынуть 2 шара, посмотреть на них и положить обратно (после чего шары тщательно перемешиваются). Сделали 100 попыток, и ровно в 50 из них вынимали 2 черных шара. Как вы думаете, сколько каких шаров в ящике и почему?

Задача 8. Дома Пуха и Пятачка расположены по одну сторону от прямой реки, но дом Пятачка дальше. Пух предложил игру: кто первым из своего дома добежит до реки и вернётся назад, получит горшочек меда. Пятачок сказал, что это нечестно – ему бежать дальше. Тогда Пух предложил каждому сначала бежать кратчайшим путём к реке, а потом — кратчайшим путём к дому другого. А такая игра честная?

Задача 9. В ряд выписаны 105 единиц, причём перед каждой единицей (кроме первой) стоит знак «+»:

1 + 1 + … + 1 + 1. Сначала перед каждой третьей единицей знак «+» заменяют на « – », затем меняют знак на противоположный перед каждой пятой единицей, и наконец меняют знак на противоположный перед каждой седьмой единицей. Найдите значение полученного выражения.

Задача 10. Путешественник вышел из точки А земного шара и, пройдя 1 км на север, потом 1 км на восток, а потом 1 км на юг, оказался снова в точке А. Где на земном шаре могла находиться точка А? Найдите хотя бы один ответ, а если получится — то и все ответы!

Задача 11. На столе стоят 77 стаканов — все вверх дном. За один ход можно перевернуть любые 4 стакана. Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

Задача 12. На доске написаны 6 цифр. Всегда ли удастся переписать их в таком порядке, чтобы сумма первых трёх цифр отличалась от суммы последних трёх цифр меньше чем на 10?

Задача 13. Из В в А и из А в В на рассвете (одновременно) вышли навстречу друг другу (по одной дороге) два путника. Они встрети­лись в полдень, но не остановились, а каждый продолжал идти со своей скоростью. Первый пришёл (в А) в 4 часа дня, а второй (в В) в 9 часов вечера. В котором часу был в этот день рассвет?

Задача14. Даны 10 целых чисел, ни одно из которых не делится на 10. Докажите, что сумма нескольких из этих чисел делится на 10.

Задача15. Два шарика катятся с разными скоростями но круговой дороге, по часовой стрелке. Если бы шарики запустили по отдельности, первый делал бы 7 оборотов в минуту, а второй 12. Но когда шариков два, они сталкиваются (быстрый догоняет медленного) и меняются скоростями после удара (1-й едет со скоростью 2-го, а 2-й - со скоростью 1-го). Докажите, что шарики будут встречаться в некоторых фиксированных точках дороги, делящих её на равные части, и найдите, сколько будет этих точек.

Задача16. Доска 6x6 склеена из 18 доминошек 2 х 1 (без дырок и перекрытий). Докажите, что удастся разрезать эту доску на две части по прямой линии, не повредив ни одной доминошки.