Задания на свойства и графики квадратичной функции вызывают, как показывает практика, серьезные затруднения. Это довольно странно, ибо квадратичную функцию проходят в 8 классе, а потом всю первую четверть 9-го класса "вымучивают" свойства параболы и строят ее графики для различных параметров.

            Это связано с тем, что заставляя учащихся строить параболы, практически не уделяют времени на "чтение" графиков, то есть не практикуют осмысление информации, полученной с картинки. Видимо, предполагается, что, построив десятка два графиков, сообразительный школьник сам обнаружит и сформулирует связь коэффициентов в формуле и внешний вид графика. На практике так не получается. Для подобного обобщения необходим серьезный опыт математических мини исследований, которым большинство девятиклассников, конечно, не обладает. А между тем, в ГИА предлагают именно по графику определить знаки коэффициентов.

            Не будем требовать от школьников невозможного и просто предложим один из алгоритмов решения подобных задач.

            Итак, функция вида y = ax² + bx + c называется квадратичной, графиком ее является парабола. Как следует из названия, главным слагаемым является ax². То есть а не должно равняться нулю, остальные коэффициенты (b и с) нулю равняться могут.

            Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов.

            Самая простая зависимость для коэффициента а. Большинство школьников уверенно отвечает: " если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а < 0, – то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой а > 0.

y = 0,5x² - 3x + 1

В данном случае а = 0,5

А теперь для а < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

В данном случае а = – 0,5

            Влияние коэффициента с тоже достаточно легко проследить. Представим, что мы хотим найти значение функции в точке х = 0. Подставим ноль в формулу:

y = a 0² + b 0 + c = c. Получается, что у = с. То есть с – это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с > 0 или с < 0. 

 с > 0: 

y = x² + 4x + 3

с < 0

y = x² + 4x – 3

Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат:

y = x² + 4x

Сложнее с параметром b. Точка, по которой мы будем его находить, зависит не только от b но и от а. Это вершина параболы. Ее абсцисса (координата по оси х) находится по формуле х_в = - b/(2а). Таким образом, b = - 2ах_в. То есть, действуем следующим образом:  на графике находим вершину параболы, определяем знак ее абсциссы, то есть смотрим правее нуля (х_в > 0) или левее (х_в < 0) она лежит.

            Однако это не все. Надо еще обратить внимание на  знак коэффициента а. То есть посмотреть, куда направлены ветви параболы. И только после этого по формуле b = - 2ах_в определить знак b.

Рассмотрим пример:

Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х_в > 0. Значит b = - 2ах_в = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем:     а > 0, b < 0, с < 0.

Рассмотрим еще один график: 

Ветви направлены вниз, значит а < 0, парабола пересекает ось у выше нуля, значит с > 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х_в > 0. Значит b = - 2ах_в = --+ = +. b > 0. Окончательно имеем:     а < 0, b > 0, с > 0.

А теперь такой:

Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с < 0, вершина параболы лежит левее нуля. Следовательно, х_в < 0. Значит b = - 2ах_в = -+- = +. b > 0. Окончательно имеем:     а > 0, b > 0, с < 0.

Если b = 0, то вершина параболы лежит на оси у. Она может лежать выше нуля (с > 0)

y = x² + 3:

Или ниже нуля  (с < 0), но обязательно на оси у:

y = x² - 4:

.

Руслан Александрович - репетитор по математике

тел. моб. (495) 642 42 50. Звонить можно до 23:00. 

тел. моб. 8 (499) 723 68 84. Звонить можно до 23:00.

тел. дом. 8 (925) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.

E-mail: mosrepetitor@mail.ru